Question

8．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），e為自然對數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)f（x）滿足xf′（x）+f（x）=$\frac{lnx}{x}$，且f（e）=$\frac{1}{e}$，則不等式f（x+1）-f（e+1）＞x-e的解集是（-1，e）．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的解析式，再令y=f（x）-x，確定函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即可解不等式．

解答 解：∵xf?（x）+f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴（xf（x））?=$\frac{lnx}{x}$，
兩邊積分xf（x）=$\frac{1}{2}$ln²x+C，
∴f（x）=$\frac{1}{x}$•（$\frac{1}{2}$ln²x+C），
∵f（e）=$\frac{1}{e}$，
∴f（e）=$\frac{1}{e}$（$\frac{1}{2}$+C）=$\frac{1}{e}$，
∴C=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{x}$•（$\frac{1}{2}$ln²x+$\frac{1}{2}$），
令y=f（x）-x，則y′=$\frac{-（lnx+1）^{2}}{2{x}^{2}}$-1＜0，
∴函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
∵f（x+1）-f（e+1）＞x-e，
∴f（x+1）-（x+1）＞f（e+1）-（e+1），
∴0＜x+1＜e+1，
∴-1＜x＜e，
故答案為：（-1，e）．

點評 本題考查解不等式，考查函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．