12.在△ABC中,$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$),若(sinC)•$\overrightarrow{AC}$+(sinA)•$\overrightarrow{PA}$+(sinB)•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{0}$,則△ABC的形狀為( 。
A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

分析 用$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{PA}$,$\overrightarrow{PB}$,代入條件式整理,根據(jù)平面向量的基本定理可得$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$的系數(shù)均為0,得出sinA,sinB,sinC的關(guān)系.

解答 解:∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$),∴$\overrightarrow{PA}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}-$$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$,
(sinC)•$\overrightarrow{AC}$+(sinA)•$\overrightarrow{PA}$+(sinB)•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{0}$,
∴(sinC)•$\overrightarrow{AC}$+(sinA)•(-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$)+(sinB)•($\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}-$$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$)=$\overrightarrow{0}$,
即$\overrightarrow{AC}$(sinC-$\frac{1}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$sinB)+$\overrightarrow{AB}$($\frac{1}{2}$sinB-$\frac{1}{2}$sinA)=$\overrightarrow{0}$.
∵$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$不共線,
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinC-\frac{1}{2}sinA-\frac{1}{2}sinB=0}\\{\frac{1}{2}sinB-\frac{1}{2}sinA=0}\end{array}\right.$,∴sinA=sinB=sinC,
即A=B=C.
∴三角形ABC是等邊三角形.
故選:A.

點評 本題考查了平面向量的基本定理,屬于中檔題.

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