Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+1-a，若x∈[-1，2]時(shí)，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知中x∈[-1，2]時(shí)，f（x）≥0恒成立，可得f（x）的最小值大于或等于0，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分當(dāng)-

a

2

＜-1，即a＞2時(shí)，當(dāng)-1≤-

a

2

≤2，即-4≤a≤2時(shí)，當(dāng)-

a

2

＞2，即a＜-4時(shí)，三種情況討論滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：由題設(shè)，即f（x）的最小值大于或等于0，
而f（x）的圖象為開口向上，對(duì)稱軸是x=-

a

2

的拋物線，
當(dāng)-

a

2

＜-1，即a＞2時(shí)，f（x）在x∈[-1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（-1）=2-2a≥0⇒a≤1，此時(shí)a∈∅；
當(dāng)-1≤-

a

2

≤2，即-4≤a≤2時(shí)，f（x）在x∈[-1，-

a

2

]上單調(diào)遞減，在x∈[-

a

2

，2]上單調(diào)遞增，
∴f(-

a

2

)=-

1

4

a2-a+1≥0⇒-2

2

-2≤a≤2

2

-2，此時(shí)-4≤a≤2

2

-2；
當(dāng)-

a

2

＞2，即a＜-4時(shí)，f（x）在x∈[-1，2]上單調(diào)遞減，
∴f（2）=5+a≥0⇒a≥-5，此時(shí)-5≤a＜-4；
綜上得：-5≤a≤2

2

-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，恒成立問題，其中將問題轉(zhuǎn)化為f（x）的最小值大于或等于0，是解答的關(guān)鍵．