Question

3．已知橢圓$M：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率是$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其中一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為$（\sqrt{2}，0）$．
（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線y=x+m與橢圓M交于A，B兩點(diǎn)，且△OAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積為$\sqrt{2}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：c=$\sqrt{2}$，根據(jù)離心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求得a的值，由b²=a²-c²=2，即可求得橢圓的方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由△＞0，即可求得m的取值范圍，由韋達(dá)定理即可求得x₁+x₂，x₁•x₂，根據(jù)弦長公式求得丨AB丨，由點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)O到AB的距離，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得求m的值．

解答 解：（1）由題意，$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\\{c=\sqrt{2}}\end{array}}\right.$，解得 $\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=\sqrt{2}}\end{array}}\right.$，
∴b²=a²-c²=2，
故所求橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$…（4分）
（2）由題意m≠0，由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1}\\{y=x+m}\end{array}}\right.$，整理得3x²+4mx+2m²-4=0，…（6分）
由△=（4m）²-4•3（2m²-4）=8（6-m²）＞0，可得0＜m²＜6（*）…（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=-\frac{4}{3}m，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-4}}{3}$，…（9分）
故$|{AB}|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}$=$\sqrt{2}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{2}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{2}\sqrt{{{（-\frac{4m}{3}）}^2}-4•\frac{{2{m^2}-4}}{3}}$=$\frac{4}{3}\sqrt{6-{m^2}}$．
又點(diǎn)O到AB的距離為$d=\frac{|m|}{{\sqrt{2}}}$，…（12分）
故${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{{\sqrt{2}}}{3}\sqrt{{m^2}（6-{m^2}）}=\sqrt{2}$，
解得：$m=±\sqrt{3}$，且滿足（*）．
所以m的值為$±\sqrt{3}$…（14分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式的綜合運(yùn)用，考查計算能力，屬于中檔題．