Question

13．設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c，且cosB=$\frac{4}{5}$，b=2．
（1）若A=30°，求a；
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）因為cosB=$\frac{4}{5}$，所以sinB=$\frac{3}{5}$由正弦定理求出a的值．
（2）由余弦定理，結合基本不等式，求出ac的最大值，即可求出△ABC面積的最大值．

解答 解：（1）在△ABC中，因為cosB=$\frac{4}{5}$，所以sinB=$\frac{3}{5}$，
由正弦定理$\frac{a}{sin30°}$=$\frac{2}{\frac{3}{5}}$，
所以a=$\frac{5}{3}$；
（2）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得4=a²+c²-$\frac{8}{5}$ac≥2ac-$\frac{8}{5}$ac，
∴ac≤10，當且僅當a=c時取等號，
∴△ABC面積的最大值為$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×10×\frac{3}{5}$=3．

點評 本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用，同角三角函數的基本關系，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．