Question

9．如圖：已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），過右焦點F（1，0）的直線l與橢圓E交于M、N兩點，且滿足$\overrightarrow{MF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{FN}$．
（1）當直線l的傾斜角為45°時，求橢圓E的方程；
（2）求△OMN面積的最大值及此時橢圓E的離心率e．

Answer 1

分析 （1）由題意寫出直線l的方程，然后利用根與系數(shù)的關系，得到M，N的橫坐標的和與積，結合$\overrightarrow{MF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{FN}$列式求得a，b的值得答案；
（2）由題意設直線l的方程x=ty+1，和橢圓方程聯(lián)立化為關于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系得到M，N的縱坐標的和與積，代入三角形面積公式，利用配方法求得最值，并得到$\frac{1}{^{2}{t}^{2}+{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，然后結合$\overrightarrow{MF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{FN}$求得a，則橢圓離心率可求．

解答 解：（1）由題意可得直線l的斜率為1，直線方程為y=x-1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，①
$\overrightarrow{MF}=（1-{x}_{1}，-{y}_{1}），\overrightarrow{FN}=（{x}_{2}-1，{y}_{2}）$，
由$\overrightarrow{MF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{FN}$，得（2-2x₁，-2y₁）=（x₂-1，y₂），
即2x₁+x₂=3，②
聯(lián)立①②得：a⁴+a²b²-a²-9b²=0，
結合a²=b²+1，解得${a}^{2}=\frac{9}{2}，^{2}=\frac{7}{2}$，
∴橢圓方程為$\frac{2{x}^{2}}{9}+\frac{2{y}^{2}}{7}=1$；
（2）設直線l的方程為x=ty+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（b²t²+a²）y²+2b²ty+b²-a²b²=0．
則${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{2^{2}t}{^{2}{t}^{2}+{a}^{2}}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{^{2}-{a}^{2}^{2}}{^{2}{t}^{2}+{a}^{2}}$，③
∴${S}_{△OMN}=\frac{1}{2}|{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{1}{2}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{1}{2}\sqrt{（-\frac{2^{2}t}{^{2}{t}^{2}+{a}^{2}}）^{2}-4\frac{^{2}-{a}^{2}^{2}}{^{2}{t}^{2}+{a}^{2}}}$=$ab•\sqrt{-\frac{1}{（^{2}{t}^{2}+{a}^{2}）^{2}}+\frac{1}{^{2}{t}^{2}+{a}^{2}}}$．
當$\frac{1}{^{2}{t}^{2}+{a}^{2}}=\frac{1}{2}$時，$（{S}_{△OMN}）_{max}=\frac{ab}{2}$．
由（1）得，y₂=-2y₁，④
聯(lián)立③④得9b²•b²t²+a²b²-a²b²•b²t²-a⁴b²=0，
即9b²（2-a²）+a²b²-a²b²（2-a²）-a⁴b²=0，
∴${a}^{2}=\frac{9}{5}$，則$a=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{\frac{3\sqrt{5}}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，關鍵是把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理，以及向量坐標的運算求解，考查運算能力，屬于中檔題．