Question

【題目】已知拋物線，為其焦點，拋物線的準(zhǔn)線交軸于點T，直線l交拋物線于A,B兩點。

（1）若O為坐標(biāo)原點，直線l過拋物線焦點，且，求△AOB的面積；

（2）當(dāng)直線l與坐標(biāo)軸不垂直時，若點B關(guān)于x軸的對稱點在直線AT上，證明直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點為

【解析】

（1）利用，求得直線的斜率為，由此寫出直線方程，代入拋物線方程求得兩點的坐標(biāo)，從而求得，用點到直線的距離公式求出高，由此求得三角形的面積.（2）設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，寫出韋達(dá)定理.根據(jù)點斜式得出直線的方程，將點的坐標(biāo)代入，然后利用韋達(dá)定理化簡，可求得和的關(guān)系式，由此求得直線所過定點的坐標(biāo).

設(shè)點，焦點坐標(biāo)為，.

（1）因為，根據(jù)拋物線的定義可知，直線的斜率為.故直線的方程為，代入拋物線方程并化簡得解得，代入直線方程得，所以.直線的一般式為，原點到直線的距離，故.

（2）直線過定點，理由如下：設(shè)直線的方程為代入拋物線方程并化簡得，故.點關(guān)于軸的對稱點為.根據(jù)點斜式，得到直線的方程為，將點坐標(biāo)代入并化簡得，將和的值代入并化簡得，即，故直線的方程為，過定點.