Question

16．若拋物線y²=2px的焦點(diǎn)與橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦點(diǎn)重合，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|的最小值為4．

Answer 1

分析 求得橢圓的焦點(diǎn)，可得p=4，設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線設(shè)為x=my+2，代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求得|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|，由配方，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求最小值．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦點(diǎn)為（2，0），
由題意可得$\frac{p}{2}$=2，即p=4，
拋物線y²=2px即為拋物線y²=8x，
過(guò)焦點(diǎn)的直線設(shè)為x=my+2，
代入拋物線的方程可得，
y²-8my-16=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，
即有|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|²=（x₁+x₂）²+（y₁+y₂）²=[m（y₁+y₂）+4]²+64m²
=（8m²+4）²+64m²=64（m²+1）²-48，
由m²≥0，可得m=0時(shí)，|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|取得最小值4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓和拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查直線與拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查向量的模的最值的求法，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．