Question

10．長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，M、N分別是C₁D₁、CD的中點(diǎn)，則異面直線A₁N和B₁M所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{30}}{10}$
• B． 0
• C． $\frac{\sqrt{15}}{10}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能示求出異面直線A₁N和B₁M所成角的余弦值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，M、N分別是C₁D₁、CD的中點(diǎn)，
∴A₁（2，0，1），N（0，1，0），B₁（2，2，1），M（0，1，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}N}$=（-2，1，-1），$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（-2，-1，0），
設(shè)異面直線A₁N和B₁M所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}N}•\overrightarrow{{B}_{1}M}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}N}|•|\overrightarrow{{B}_{1}M}|}$=$\frac{3}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴異面直線A₁N和B₁M所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．