Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，a₁=-1，a₂=2，滿足S_n+1=3S_n-2S_n-1-a_n-1+2（n≥2），則a₁₀₀=9998．

Answer 1

分析 S_n+1=3S_n-2S_n-1-a_n-1+2（n≥2），可得S_n+2=3S_n+1-2S_n-a_n+2，a₃=7．相減可得：a_n+2=3a_n+1-3a_n-a_n-1，變形為：（a_n+2-a_n+1）+（a_n-a_n-1）=2（a_n+1-a_n），利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n+1-a_n，再利用“累加求和”方法即可得出．

解答 解：∵S_n+1=3S_n-2S_n-1-a_n-1+2（n≥2），
可得S_n+2=3S_n+1-2S_n-a_n+2，a₃=7．
∴a_n+2=3a_n+1-3a_n-a_n-1，
變形為：（a_n+2-a_n+1）+（a_n-a_n-1）=2（a_n+1-a_n），
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差d=（a₃-a₂）-（a₂-a₁）=5-3=2．
∴a_n+1-a_n=3+2（n-1）=2n+1．
∴a₁₀₀=（a₁₀₀-a₉₉）+（a₉₉-a₉₈）+…+（a₂-a₁）+a₁=（2×99+1）+（2×98+1）+…+（2×1+1）+（-1）=$2×\frac{99×（1+99）}{2}$+99-1=9998．
故答案為：9998．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“累加求和”方法、等差數(shù)列的相同公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．