Question

3．已知曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）和曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1有相同的焦點，曲線C₁的離心率是曲線C₂的離心率的$\sqrt{5}$倍．
（Ⅰ）求曲線C₁的方程；
（Ⅱ）設點A是曲線C₁的右支上一點，F為右焦點，連AF交曲線C₁的右支于點B，作BC垂直于定直線l：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，垂足為C，求證：直線AC恒過x軸上一定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題知：a²+b²=2，曲線C₂的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，利用曲線C₁的離心率是曲線C₂的離心率的$\sqrt{5}$倍，求出a，b，即可求曲線C₁的方程；
（Ⅱ）由于研究直線恒過定點，求出AC的方程，令y=0，求出x可得（x與直線AB斜率k無關），可證直線AC恒過定點就可解決．

解答 （Ⅰ）解：由題知：a²+b²=2，曲線C₂的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$…（2分）
∵曲線C₁的離心率是曲線C₂的離心率的$\sqrt{5}$倍，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$=$\sqrt{5}×\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$即a²=b²，…（3分）
∴a=b=1，∴曲線C₁的方程為x²-y²=1；                     …（4分）
（Ⅱ）證明：由直線AB的斜率不能為零知可設直線AB的方程為：x=ny+$\sqrt{2}$ …（5分）
與雙曲線方程x²-y²=1聯立，可得（n²-1）y²+2$\sqrt{2}$ny+1=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=-$\frac{2\sqrt{2}n}{{n}^{2}-1}$，y₁y₂=$\frac{1}{{n}^{2}-1}$，…（7分）
由題可設點C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y₂），
由點斜式得直線AC的方程：y-y₂=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{\frac{\sqrt{2}}{2}-{x}_{1}}$（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）              …（9分）
令y=0，可得x=$\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}{y}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$=$\frac{-3n-\frac{3\sqrt{2}}{2}{y}_{1}（1-{n}^{2}）}{-2\sqrt{2}n-2{y}_{1}（1-{n}^{2}）}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$       …（11分）
∴直線AC過定點（$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，0）．                                         …（12分）

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，考查直線恒過定點，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．