Question

10．已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx-cosx），x∈R，則f（$\frac{π}{4}$）=0，f（x）的最大值是$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 將函數(shù)進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到答案．

解答 解：由f（x）=2cosx（sinx-cosx）
?f（x）=2cosxsinx-2cosxcosx）
?f（x）=sin2x-1-cos2x
?f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-1
當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時，即f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）-1=0；
由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：sin（2x-$\frac{π}{4}$）的最大值為1．
∴f（x）的最大值為$\sqrt{2}$-1．
故答案為：0，$\sqrt{2}$-1．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．