Question

4．P是橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$上的一點，F(xiàn)₁和F₂是焦點，若∠F₁PF₂=30°，則△F₁PF₂的面積等于（　　）

• A． $\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$
• B． $16（2+\sqrt{3}）$
• C． $4（2-\sqrt{3}）$
• D． 16

Answer 1

分析 由題意方程求出a，c的值，在△PF₁F₂中，由余弦定理求得PF₁PF₂的值，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：如圖，

由橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$，得a²=5，b²=4，則c²=a²-b²=1，
∴$a=\sqrt{5}，c=1$．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得：${F}_{1}{{F}_{2}}^{2}=P{{F}_{1}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}-2P{F}_{1}P{F}_{2}•cos∠{F}_{1}P{F}_{2}$，
即$4{c}^{2}=（P{F}_{1}+P{F}_{2}）^{2}-2P{F}_{1}P{F}_{2}-2P{F}_{1}P{F}_{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則$4=（2\sqrt{5}）^{2}-（2+\sqrt{3}）P{F}_{1}P{F}_{2}$，得$P{F}_{1}P{F}_{2}=16（2-\sqrt{3}）$．
∴△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}×P{F}_{1}P{F}_{2}sin30°=\frac{1}{2}×16（2-\sqrt{3}）×\frac{1}{2}$=$4（2-\sqrt{3}）$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了焦點三角形面積的求法，是中檔題．