Question

15．已知函數(shù)$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$是奇函數(shù)（a∈R）．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）試判斷函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-（m+1）t）+f（t²-m-1）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，并且在原點(diǎn)有定義，從而f（0）=0，求出a=1；
（2）容易判斷$f（x）=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$為增函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)定義，設(shè)任意的x₁＜x₂，然后作差，通分，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性便可證明f（x₁）＜f（x₂），從而得出f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，以及在R上單調(diào)遞增便可根據(jù)不等式f（t²-（m+1）t）+f（t²-m-1）＞0恒成立得出不等式2t²-（m+1）t-（m+1）＞0對任意t∈R恒成立，從而得出判別式△=m²+10m+9＜0，解該不等式便可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義；
∴f（0）=a-1=0
∴a=1；
（2）$f（x）=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，證明如下：
設(shè)x₁＜x₂，則：
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}$=$\frac{{2（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)；
（3）由（1）、（2）知，f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，且是奇函數(shù)；
∵f（t²-（m+1）t）+f（t²-m-1）＞0；
∴f（t²-（m+1）t）＞-f（t²-m-1）=f（-t²+m+1）；
∴t²-（m+1）t＞-t²+m+1；
即2t²-（m+1）t-（m+1）＞0對任意t∈R恒成立；
只需△=（m+1）²+4•2（m+1）=m²+10m+9＜0；
解之得-9＜x＜-1；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-9，-1）．

點(diǎn)評 考查奇函數(shù)的定義，增函數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)增函數(shù)定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，根據(jù)奇函數(shù)定義和增函數(shù)定義解不等式的方法，一元二次不等式恒大于0時，判別式△的取值情況．