Question

4．已知A={x|（2^x）²-6•2^x+8≤0}，函數(shù)f（x）=log₂x（x∈A）． 
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)h（x）=[f（x）]²-log₂（2x），求函數(shù)h（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）設(shè)t=2^x，把（2^x）²-6•2^x+8≤0轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式求得t的范圍，進(jìn)一步求得x的范圍得答案；
（2）設(shè)u=log₂x，由（1）u=log₂x∈[0，1]，然后利用配方法求得函數(shù)的值域．

解答 解：（1）設(shè)t=2^x，
∵A={x|（2^x）²-6•2^x+8≤0}，
∴t²-6t+8≤0，解得2≤t≤4，
∴x∈[1，2]，即函數(shù)f（x）的定義域為[1，2]；
（2）設(shè)u=log₂x，由（1）u=log₂x∈[0，1]，
∴$y={u}^{2}-u-1=（u-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{5}{4}$，
∴h（x）∈[$-\frac{5}{4}，-1$]．

點評 本題考查函數(shù)的定義域、值域及其求法，訓(xùn)練了利用換元法及配方法求解函數(shù)的值域，是中檔題．