Question

12．已知三角形ABC內的一點D滿足$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{DA}$=-2，且|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|．平面ABC內的動點P，M滿足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，則|$\overrightarrow{BM}$|²的最大值是（　�。�

• A． $\frac{49}{4}$
• B． $\frac{43}{4}$
• C． $\frac{{37+6\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\frac{{37+2\sqrt{33}}}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意可設：D（0，0），A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），C（-1，-$\sqrt{3}$）．根據(jù)動點P，M滿足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，可設：P（2+cosθ，sinθ），M（$\frac{1+cosθ}{2}$，$\frac{sinθ-\sqrt{3}}{2}$），求得$\overrightarrow{BM}$ 得坐標，計算${\overrightarrow{BM}}^{2}$=$\frac{37+12sin（\frac{π}{6}-θ）}{4}$，根據(jù)正弦函數(shù)的有解性求得它的最大值．

解答 解：∵三角形ABC內的一點D滿足：$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{DA}$=-2，且|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，
∴可設：D（0，0），A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），C（-1，-$\sqrt{3}$），
∵動點P，M滿足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，
可設：P（2+cosθ，sinθ），M（$\frac{1+cosθ}{2}$，$\frac{sinθ-\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{3+cosθ}{2}$，$\frac{sinθ-3\sqrt{3}}{2}$），
∴${\overrightarrow{BM}}^{2}$=${（\frac{3+cosθ}{2}）}^{2}$+${（\frac{sinθ-3\sqrt{3}}{2}）}^{2}$=$\frac{37+12sin（\frac{π}{6}-θ）}{4}$≤$\frac{49}{4}$，
當且僅當sin（$\frac{π}{6}$-θ）=1時取等號，
故選：A．

點評 本題考查了向量坐標運算性質、模的計算公式、數(shù)量積運算性質、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．