Question

已知函數(shù)在上的最大值為

求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

求證：對(duì)任何正整數(shù)，都有；

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：對(duì)任何正整數(shù)，都有成立

 

Answer 1

（1）；（2）證明過程見解析；（3）證明過程見解析.

【解析】

試題分析：（1）判斷在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得最大值，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）當(dāng)時(shí)，欲證 ，只需證明，

（3）利用（2）的結(jié)論得，再由對(duì)其進(jìn)行放縮得：

，可得證.

（1）

當(dāng)時(shí)，由知：

∵時(shí)，；時(shí)，；

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

∴在處取得最大值，

即.

（2）當(dāng)時(shí)，欲證 ，

只需證明

∵

.

所以，當(dāng)時(shí)，都有成立．

（3）

 

所以，對(duì)任意正整數(shù)，都有成立.

考點(diǎn)： 數(shù)列的概念及簡單表示法；數(shù)列與不等式；數(shù)列求和放縮.