Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³-px²-qx圖象與x軸切于點(diǎn)（1，0），則f（x）極大值與極小值的和=$\frac{4}{27}$．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f（x）與x軸相切且切點(diǎn)為（1，0），得f（1）=0且f′（1）=0，聯(lián)立解出p、q的值，確定出f（x），由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極值點(diǎn)，進(jìn)一步求得極值得答案．

解答 解：由f（x）=x³-px²-qx，得f′（x）=3x²-2px-q，
∵f（x）的圖象與x軸切于點(diǎn)（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1-p-q=0}\\{f′（1）=3-2p-q=0}\end{array}\right.$，解得p=2，q=-1．
則函數(shù)f（x）=x³-2x²+x．
∴f′（x）=3x²-4x+1，
由f′（x）=0，得到：x=1或x=$\frac{1}{3}$．
當(dāng)x∈（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（$\frac{1}{3}$，1）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在∈（-∞，$\frac{1}{3}$），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{3}$，1）上單調(diào)遞減，
∴極大值為f（$\frac{1}{3}$）=$（\frac{1}{3}）^{3}-2×（\frac{1}{3}）^{2}+\frac{1}{3}=\frac{4}{27}$，極小值為f（1）=0．
∴f（x）極大值與極小值的和=$\frac{4}{27}$+0=$\frac{4}{27}$．
故答案為：$\frac{4}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的能力，是中檔題．