Question

如圖，已知AB為圓O的直徑，C為圓O上一點(diǎn)，連接AC并延長使AC=CP，連接PB并延長交圓O于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作圓O的切線，切點(diǎn)為E．
（1）證明：AB•DP=EP²；
（2）若AB=2

5

，EP=4

2

，求BC的長度．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（1）連結(jié)BC，由已知得∠BCA=90°，AB=BP，由此利用切割線定理能證明AB•DP=EP²．
（2）由切割線定理得AP•CP=EP²，從而AC=4，由此能求出BC=2．

解答： （1）證明：連結(jié)BC，
∵AB為圓O的直徑，∴∠BCA=90°，
∵AC=CP，∴AB=BP，
∵EP是圓O的切線，PBD是圓O的割線，
∴BP•DP=EP²，
∴AB•DP=EP²．
（2）解：∵EP是圓O的切線，PCA是圓O的割線，
∴AP•CP=EP²，
∵AC=CP，∴2AC•AC=EP²=32，解得AC=4，
∵AB=2

5

，EP=4

2

，
∴BC²=AB²-AC²=20-16=4，
解得BC=2．

點(diǎn)評：本題考查AB•DP=EP²的證明，考查線段長的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意切割線定理的合理運(yùn)用，是中檔題．