Question

4．如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=$\frac{1}{2}$AB=2．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到如圖2所示的幾何體D-ABC
（Ⅰ）求證：AD⊥平面BCD；
（Ⅱ）求點(diǎn)C到平面ABD的距離．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：AC=BC=2$\sqrt{2}$，又AB²=AC²+BC²，可得AC⊥CB，由面面垂直的性質(zhì)定理可得：BC⊥平面ADC，可得BC⊥AD．又AD⊥DC，即可證明結(jié)論．
（II）由（I）可知：平面ABD⊥平面BCD．過點(diǎn)C作CH⊥BD，垂足為H．可得CH⊥平面ABD．利用CH=$\frac{BC•CD}{BD}$即可得出．

解答 （I）證明：由題意可得：AC=BC=2$\sqrt{2}$，∴AB²=AC²+BC²，∴AC⊥CB，
又平面ADC⊥平面ABC，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AD．
又AD⊥DC，DC∩BC=C，
∴AD⊥平面BCD．
（II）解：由（I）可知：平面ABD⊥平面BCD．過點(diǎn)C作CH⊥BD，垂足為H．則CH⊥平面ABD．CH為點(diǎn)C到平面ABD的距離．
∵BC⊥平面ADC，∴BC⊥CD．
在Rt△BCD中，BC=2$\sqrt{2}$，CD=2，∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴CH=$\frac{BC•CD}{BD}$=$\frac{2\sqrt{2}×2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴點(diǎn)C到平面ABD的距離是$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、距離的計(jì)算、線面垂直判定與性質(zhì)定理、勾股定理與逆定理的應(yīng)用、“等體積法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．