Question

【題目】如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD= ．
（Ⅰ）求證：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角A﹣EF﹣C的大小為60°？

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CF交CF于G，連接DG，

可得四邊形BCGE為矩形．又ABCD為矩形，
所以AD⊥∥EG，從而四邊形ADGE為平行四邊形，故AE∥DG．
因?yàn)锳E平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF．
（Ⅱ）解：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF交FE的延長(zhǎng)線于H，連接AH．

由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得
AB⊥平面BEFC，
從而AH⊥EF，
所以∠AHB為二面角A﹣EF﹣C的平面角．
在Rt△EFG中，因?yàn)镋G=AD= ．
又因?yàn)镃E⊥EF，所以CF=4，
從而B(niǎo)E=CG=3．
于是BH=BEsin∠BEH= ．
因?yàn)锳B=BHtan∠AHB，
所以當(dāng)AB= 時(shí)，二面角A﹣EF﹣G的大小為60°
【解析】（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CF并CF于G，連接DG，證明AE平行平面DCF內(nèi)的直線DG，即可證明AE∥平面DCF；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF交FE的延長(zhǎng)線于H，連接AH，說(shuō)明∠AHB為二面角A﹣EF﹣C的平面角，通過(guò)二面角A﹣EF﹣C的大小為60°，求出AB即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行．