10.設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn滿足$a_{n+1}^2=4{S_n}+4n+1,n∈{N^*}$,且a2,a5,a14恰好是等比數(shù)列{bn}的前三項.記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,若對任意的n∈N*,不等式$({T_n}+\frac{3}{2})•k≥3n-6$恒成立,則實數(shù)k的取值范圍是$[\frac{2}{27},+∞)$.

分析 $a_{n+1}^2=4{S_n}+4n+1,n∈{N^*}$,利用遞推關(guān)系可得:an+1=an+2,利用等差數(shù)列的通項公式可得an.可得b1=a2,b2=a5.等比數(shù)列{bn}的公比q.利用等比數(shù)列的求和公式可得數(shù)列{bn}的前n項和Tn.根據(jù)對任意的n∈N*,不等式$({T_n}+\frac{3}{2})•k≥3n-6$恒成立,化簡整理利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出.

解答 解:$a_{n+1}^2=4{S_n}+4n+1,n∈{N^*}$,
∴n≥2時,${a}_{n}^{2}$=4Sn-1+4n-3,可得:${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$=4an+4,可得${a}_{n+1}^{2}$=$({a}_{n}+2)^{2}$,
∵an>0,可得an+1=an+2,
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差為2,
∴$({a}_{1}+2)^{2}$=4a1+5,解得a1=1.
∴an=1+2(n-1)=2n-1.
∴b1=a2=3,b2=a5=9.
∴等比數(shù)列{bn}的公比q=3.
∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn=$\frac{3({3}^{n}-1)}{3-1}$=$\frac{{3}^{n+1}}{2}$-$\frac{3}{2}$.
∵對任意的n∈N*,不等式$({T_n}+\frac{3}{2})•k≥3n-6$恒成立,
∴k≥$\frac{3n-6}{\frac{{3}^{n+1}}{2}}$=$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$.
令cn=$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$,則c1<0,c2=0,n≥3時,cn>0.
且cn-cn+1=$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$-$\frac{2n-2}{{3}^{n+1}}$=$\frac{4n-10}{{3}^{n+1}}$>0,因此單調(diào)遞減.
∴k≥c3=$\frac{2}{27}$.
∴實數(shù)k的取值范圍是:$[\frac{2}{27},+∞)$.
故答案為:$[\frac{2}{27},+∞)$.

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、不等式的解法、數(shù)列的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.若命題p:?x0∈R,ax02+4x0+a≥-2x02+1是真命題,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足:f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x),當(dāng)x∈[-1,1]時,f(x)=x3,則f(2015)的值是( 。
A.-1B.0C.1D.2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.已知{an}是首項為1的等比數(shù)列,Sn是其前n項和,若S4=5S2,則log4a3的值為( 。
A.1B.2C.0或1D.0或2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=$\frac{(1+i)2}{1-i}$在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第(  )象限.
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{x^2}$.
(1)判斷并用定義證明函數(shù)的奇偶性;
(2)判斷并用定義證明函數(shù)在(-∞,0)上的單調(diào)性.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,求證:平面AB1D1∥平面C1BD;

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.設(shè)集合A={x|-7≤2x-1≤7},B={x|m-1≤x≤3m-2},
(1)當(dāng)m=3時,求A∩B與A∪(∁RB);
(2)若B⊆A,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.已知直線l1:y=x+2,l2:y=x-2,矩陣$M=({\begin{array}{l}0&2\\ 1&0\end{array}})$.
(Ⅰ)求直線l1經(jīng)過矩陣M變換之后得到的直線方程;
(Ⅱ)若將(Ⅰ)中所得直線再進行伸縮變換N之后得到直線l2,求伸縮變換的矩陣N.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案