Question

5．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等邊三角形，AA₁⊥底面ABC，AB=2，AA₁=$\sqrt{2}$，則異面直線AC₁與B₁C所成的角的大小是（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 取中點連接，由異面直線所成角的概念得到異面直線AC₁與B₁C所成的角，求解直角三角形得到三角形邊長，再由余弦定理得答案．

解答 解：如圖，
分別取AC、B₁C₁、CC₁、BC的中點E、F、G、K，
連接EF、EG、FG、EK、FK，
EK=$\frac{1}{2}AB=1$，F(xiàn)K=$A{A}_{1}=\sqrt{2}$，則EF=$\sqrt{3}$，EG=$\frac{1}{2}A{C}_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，$FG═\frac{1}{2}{B}_{1}C=\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$．
在△EFG中，cos∠EGF=$\frac{（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}{2×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}}=0$．
∴異面直線AC₁與B₁C所成的角的大小是90°．
故選：C．

點評 本題考查異面直線所成的角，考查空間想象能力和計算能力，是中檔題．