Question

【題目】設m，n∈R，若直線（m+1）x+（n+1）y﹣2=0與圓（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，則m+n的取值范圍是（ ）
A.[1﹣ ，1+ ]
B.（﹣∞，1﹣ ]∪[1+ ，+∞）
C.[2﹣2 ，2+2 ]
D.（﹣∞，2﹣2 ]∪[2+2 ，+∞）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由圓的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圓心坐標為（1，1），半徑r=1， ∵直線（m+1）x+（n+1）y﹣2=0與圓相切，
∴圓心到直線的距離d= =1，
整理得：m+n+1=mn≤ ，
設m+n=x，則有x+1≤ ，即x2﹣4x﹣4≥0，
∵x2﹣4x﹣4=0的解為：x1=2+2 ，x2=2﹣2 ，
∴不等式變形得：（x﹣2﹣2 ）（x﹣2+2 ）≥0，
解得：x≥2+2 或x≤2﹣2 ，
則m+n的取值范圍為（﹣∞，2﹣2 ]∪[2+2 ，+∞）．
故選D
由圓的標準方程找出圓心坐標和半徑r，由直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關系式，整理后利用基本不等式變形，設m+n=x，得到關于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為m+n的范圍．