Question

7．已知MN是單位圓O的直徑，A、B是圓O上的兩點，且∠AOB=120°，若點C在圓內(nèi)且滿足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$（0＜λ＜1），則$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的取值范圍是[-$\frac{3}{4}$，0）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可知C在線段AB上，從而得出|$\overrightarrow{OC}$|的范圍，用$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$，$\overrightarrow{OC}$表示出$\overrightarrow{CM}，\overrightarrow{CN}$，代入數(shù)量積公式得出關(guān)于|$\overrightarrow{OC}$|的式子，根據(jù)|$\overrightarrow{OC}$|的范圍得出答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$，∴點C在線段AB上（不含端點），．
∵OA=OB=1，∠AOB=120°，∴O到直線AB的距離d=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{2}≤$|$\overrightarrow{OC}$|＜1．
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OC}$）=$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$-（$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$）$•\overrightarrow{OC}$+${\overrightarrow{OC}}^{2}$．
∵MN是單位圓O的直徑，∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-1，$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=-1+${\overrightarrow{OC}}^{2}$．
∴-$\frac{3}{4}$≤$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$＜0．
故答案為[-$\frac{3}{4}$，0）．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，向量線性運算的性質(zhì)與幾何意義，屬于中檔題．