Question

16．已知函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （-∞，-$\frac{1}{2}$）
• D． （-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（0，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．令g（x）=lnx+1-2ax，由于函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點?g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實數(shù)根．求出函數(shù)的導數(shù)，當a≤0時，直接驗證；當a＞0時，利用導數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調性可得：當x=$\frac{1}{2a}$時，函數(shù)g（x）取得極大值，故要使g（x）有兩個不同解，只需要g（$\frac{1}{2a}$）=ln$\frac{1}{2a}$＞0，解得即可．

解答 解：f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax，
令g（x）=lnx+1-2ax，
∵函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點，則g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實數(shù)根，
g′（x）=$\frac{1-2ax}{x}$，
當a≤0時，g′（x）＞0，則函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）單調遞增，
因此g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上不可能有兩個實數(shù)根，應舍去，
當a＞0時，令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2a}$，
令g′（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{2a}$，此時函數(shù)g（x）單調遞增，
令g′（x）＜0，解得x＞$\frac{1}{2a}$，此時函數(shù)g（x）單調遞減，
∴當x=$\frac{1}{2a}$時，函數(shù)g（x）取得極大值，
當x趨近于0與x趨近于+∞時，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在區(qū)間（0，+∞）上有兩個實數(shù)根，
則g（$\frac{1}{2a}$）=ln$\frac{1}{2a}$＞0，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$，
∴實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$），
故選：A．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值，考查了等價轉化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．