7.如圖:已知四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中點(diǎn),
(Ⅰ) 求證:PC∥平面EBD;
(Ⅱ) 求證:BC⊥PC.
(Ⅲ) 若:PD=DA=2,求:三棱錐E-ABD的體積.

分析 (Ⅰ)連接AC交BD與O,連接EO,則EO∥PC,由此能證明PC∥平面EBD.
(Ⅱ)推導(dǎo)出PA⊥BC,BC⊥CD,從而B(niǎo)C⊥平面PCD,由此能證明BC⊥PC.
(Ⅲ) 求出點(diǎn)E到平面ABCD的距離h=$\frac{1}{2}$PD=1,再求出△ABD的面積,由此能求出三棱錐E-ABD的體積.

解答 證明:(Ⅰ)連接AC交BD與O,連接EO,
∵E、O分別為PA、AC的中點(diǎn),∴EO∥PC,
∵PC?平面EBD,EO?平面EBD,∴PC∥平面EBD.  …(4分)
(Ⅱ)∵PD⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,…(7分)
∵ABCD為正方形,∴BC⊥CD,…(8分)
∵PD∩CD=D,∴BC⊥平面PCD,
又∵PC?平面PCD,∴BC⊥PC. …(8分)
解:(Ⅲ)∵PD⊥平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中點(diǎn),PD=DA=2,
∴點(diǎn)E到平面ABCD的距離h=$\frac{1}{2}$PD=1,
${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×AD$=$\frac{1}{2}×2×2$=2,
∴三棱錐E-ABD的體積是VE-ABD=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABD}×h$=$\frac{1}{3}×2×1$=$\frac{2}{3}$. …(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行的證明,考查線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明,考查三棱錐的體積的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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