Question

17．$\int_{-1}^1$（xcosx+$\sqrt{4-{x^2}}$）dx=$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到$\int_{-1}^1$xcosxdx=0，再根據(jù)定積分的幾何意義可得$\int_{-1}^1$$\sqrt{4-{x^2}}$dx表示如圖所示的陰影部分的面積，問題得以解決．

解答 解：∵y=xcosx為奇函數(shù)，
∴$\int_{-1}^1$xcosxdx=0，
∵$\int_{-1}^1$$\sqrt{4-{x^2}}$dx表示如圖所示的陰影部分的面積，
∴OB=1，OC=2，
∴∠BCO=30°，
∴∠AOC=30°，
∴S_扇形AOC+S_△OBC=$\frac{30π×{2}^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{π}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_陰影=2（S_扇形AOC+S_△OBC）=$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$，
∴$\int_{-1}^1$（xcosx+$\sqrt{4-{x^2}}$）dx=$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$，
故答案為：$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$

點評 本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)和定積分的幾何意義，屬于中檔題．