Question

12．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ為參數(shù)），且曲線C₁上的點M（2，$\sqrt{3}$）對應的參數(shù)φ=$\frac{π}{3}$．以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂是圓心在極軸上且經過極點的圓．射線$θ=\frac{π}{4}$與曲線C₂交于點D（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．
（1）求曲線C₁的普通方程，曲線C₂的極坐標方程；
（2）若A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）是曲線C₁上的兩點，求$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）點M（2，$\sqrt{3}$）對應的參數(shù)φ=$\frac{π}{3}$代入$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ為參數(shù)），可得$\left\{\begin{array}{l}{2=acos\frac{π}{3}}\\{\sqrt{3}=bsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得a，b．可得曲線C₁的普通方程．設圓C₂的半徑為R，則曲線C₂的極坐標方程為ρ=2Rcosθ，將點D$（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$代入得R．
（2）曲線C₁的極坐標方程為$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{16}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{4}$，將A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）代入即可得出．

解答 解：（1）點M（2，$\sqrt{3}$）對應的參數(shù)φ=$\frac{π}{3}$代入$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ為參數(shù)），可得$\left\{\begin{array}{l}{2=acos\frac{π}{3}}\\{\sqrt{3}=bsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，
解得：a=4，b=2．
∴曲線C₁的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
設圓C₂的半徑為R，則曲線C₂的極坐標方程為ρ=2Rcosθ，將點D$（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$代入得R=1．．
∴圓C₂的極坐標方程為ρ=2cosθ．
（2）曲線C₁的極坐標方程為$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{16}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{4}$，
將A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）代入可得：$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{16}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{4}$，$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=$\frac{si{n}^{2}θ}{16}$+$\frac{co{s}^{2}θ}{4}$．
∴$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{16}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化公式、橢圓的參數(shù)方程及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．