Question

12．已知函數(shù)f（x）=（1+x）e^-2x，g（x）=ax+$\frac{x^3}{2}$+1+2xcosx，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）+x-1的最值；
（2）若f（x）≥g（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可；
（2）求出G（x）的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為G'（0）≥0⇒a≤-3，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）F（x）=（1+x）e^-2x+x-1，
F′（x）=$\frac{{e}^{2x}-2x-1}{{e}^{2x}}$，
∵e^x≥x+1，∴e^2x≥2x+1，
∴F'（x）≥0恒成立，F(xiàn)（x）在[0，1]單調(diào)遞增，
∴F（x）_min=F（0）=0，$F{（x）_{max}}=F（1）=\frac{2}{e^2}$；
（2）令$G（x）=f（x）-g（x）=（{1+x}）{e^{-2x}}-（{ax+\frac{x^3}{2}+1+2xcosx}）$，
則G′（x）=-（2x+1）e^-2x-$\frac{3}{2}$x²-2cosx+2xsinx-a，
∵G（0）=0，
∴要使G（x）≥0恒成立，則G'（0）≥0⇒a≤-3，
下面證明充分性：
由（1）知：F（x）=f（x）+x-1≥0⇒f（x）≥1-x，
∴$G（x）≥1-x-（{ax+\frac{x^3}{2}+1+2xcosx}）=-x-ax-\frac{x^3}{2}-2xcosx=-x（{1+a+\frac{x^2}{2}+2cosx}）$，
令$H（x）=1+a+\frac{x^2}{2}+2cosx$，H'（x）=x-2sinx，H''（x）=1-2cosx＜0在[0，1]恒成立，
∴H'（x）在[0，1]單調(diào)遞減，
∴H'（x）≤H'（0）=0，∴H（x）在[0，1]單調(diào)遞減
∴H（x）≤H（0）=1+a+2≤0
∴G（x）≥-xH（x）≥0，
∴a≤-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．