Question

20．求虛數(shù)z，使之同時滿足以下兩個條件：
（1）|$\overline{z}$-3|=|$\overline{z}$-3i|；
（2）z-1+$\frac{5}{z-1}$是實數(shù)．

Answer 1

分析 設(shè)z=x+yi（x，y∈R，y≠0），分別代入|$\overline{z}$-3|=|$\overline{z}$-3i|，z-1+$\frac{5}{z-1}$，化簡即可得出．

解答 解：設(shè)z=x+yi（x，y∈R，y≠0），
由|$\overline{z}$-3|=|$\overline{z}$-3i|，得
|x-yi-3|=|x-yi-3i|⇒y=-x．①
由z-1+$\frac{5}{z-1}$是實數(shù)，得x-1+yi+$\frac{5}{（x-1）+yi}$∈R，y≠0⇒（x-1）²+y²=5．②
聯(lián)立①和②，得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-2\end{array}$或$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1.\end{array}$
∴z=2-2i或z=-1+i．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則及其有關(guān)概念，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．