Question

7．一個多面體的直觀圖和三視圖如圖，M是A′B的中點，N是棱B′C′上任意一點（含頂點），對于下列結(jié)論：①當點N是棱B′C′中點時，MN∥平面ACC′A′；②MN⊥A′C；③三棱錐N-A′BC的體積$V=\frac{a^3}{6}$；④點M是多面體的球心．其中正確的是①②③④．

Answer 1

分析 本題是直觀圖和三視圖的綜合分析題，要抓住M是A′B的中點，N是棱B′C′上的任意一點（含頂點）就是動點，從三視圖抓住直觀圖的特征，結(jié)合下情況分別判斷即可得答案．

解答 解：①M連接AB中點E，N連接BC中點F，得到MNFE平行于平面ACC′A′，面面平行即可得到線面平行，故①正確；
②M連接A′C中點G，連接C′G，A′C⊥平面MNC′G．∴MN⊥A′C，故②正確；
③三棱錐N-A′BC的體積為${V}_{N-{A}^{′}BC}$=$\frac{1}{3}$•S_△BCA′•MB′=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$•CA′•BC•MB′=$\frac{{a}^{3}}{6}$，故③正確；
④由三視圖可知：此多面體是正方體切割下來了的，M是A′B的中點（空間對角線中點），是正方體中心，∴點M是該多面體外接球的球心．故④正確．
∴正確的是①②③④．
故答案為：①②③④．

點評 本題考查了棱錐、棱柱、棱臺的體積，考查了直觀圖和三視圖的關(guān)系，通過三視圖抓住直觀圖的特征，線面垂直的判定和性質(zhì)，遇中點找中點的思想．考慮補形來確定球心．考查空間想象能力，是中檔題．