Question

5．三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A₁B₁C₁，∠BAC=90°，A₁A⊥平面ABC，A₁A=$\sqrt{3}$，AB=$\sqrt{2}$，AC=2，A₁C₁=1，$\frac{BD}{DC}$=$\frac{1}{2}$．
（1）證明：平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）求二面角A-CC₁-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)面面垂直的判定定理證明BC⊥平面A₁AD即可；
（Ⅱ）作AE⊥C₁C交C₁C于E點，連接BE，由三垂線定理知BE⊥CC₁，從而∠AEB為二面角A-CC₁-B的平面角，根據(jù)三角形的邊角關系進行求解．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵A₁A⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A₁A⊥BC．在Rt△ABC中，$AB=\sqrt{2}，AC=2$，∴$BC=\sqrt{6}$，
∵BD：DC=1：2，∴$BD=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，又$\frac{BD}{AB}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{AB}{BC}$，
∴△DBA∽△ABC，∴∠ADB=∠BAC=90°，即AD⊥BC．
又A₁A∩AD=A，∴BC⊥平面A₁AD，
∵BC?平面BCC₁B₁，∴平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）如圖，作AE⊥C₁C交C₁C于E點，連接BE，
由已知得AB⊥平面ACC₁A₁．∴AE是BE在面ACC₁A₁內(nèi)的射影．
由三垂線定理知BE⊥CC₁，∴∠AEB為二面角A-CC₁-B的平面角．
過C₁作C₁F⊥AC交AC于F點，
則CF=AC-AF=1，${C_1}F={A_1}A=\sqrt{3}$，∴∠C₁CF=60°．
在Rt△AEC中，$AE=ACsin{60°}=2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$．
BE=$\sqrt{5}$
在Rt△BAE中，cos∠AEB=$\frac{AE}{BE}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即二面角A-CC₁-B的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題主要考查平面與平面垂直的判定，以及二面角的平面角求解，根據(jù)面面垂直的判定定理以及二面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關鍵．，同時考查了空間想象能力，計算能力和推理能力，以及轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．