Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+ϕ）-cos（ωx+ϕ）（0＜ϕ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求f（$\frac{π}{8}$）的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）的最大值及對應的x的值．

Answer 1

分析 利用兩角差的正弦化簡，再由已知求得ω與φ的值，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（1）在函數(shù)解析式中取x=$\frac{π}{8}$，求f（$\frac{π}{8}$）的值；
（2）求出函數(shù)y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$），利用輔助角公式化積后可得函數(shù)的最大值及對應的x的值．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）．
∵函數(shù)y=f（x）的圖象的相鄰對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即T=π，則ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2．
∴f（x）=2sin（2x+φ-$\frac{π}{6}$）．
又f（x）為偶函數(shù)，∴φ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，即φ=$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z．
∵0＜φ＜π，∴φ=$\frac{2π}{3}$，
則f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x．
（1）f（$\frac{π}{8}$）=2cos（2×$\frac{π}{8}$）=2cos$\frac{π}{4}$=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$；
（2）y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）=2cos2x+2cos（2x+$\frac{π}{2}$）=-2sin2x+2cos2x=-2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
當2x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，即x=-$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z時，函數(shù)y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）取最大值2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．