Question

19．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1（n∈N*），a₁=1．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1}為等比數(shù)列，并求a_n；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n（3ⁿ-a_n）=$\frac{n+2}{n（n+1）}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證；T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1（n∈N*），可得n≥2時(shí)，2S_n-1=a_n-2ⁿ+1，相減變形化為：$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+1=$\frac{3}{2}（\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+1）$，即可證明．
（2）b_n（3ⁿ-a_n）=$\frac{n+2}{n（n+1）}$，可得b_n=$\frac{n+2}{n（n+1）•{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$$（\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$．利用“裂項(xiàng)求和”與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 證明：（1）∵2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1（n∈N*），∴n≥2時(shí)，2S_n-1=a_n-2ⁿ+1，相減可得2a_n=a_n+1-2ⁿ-a_n，化為：$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$+1=$\frac{3}{2}（\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+1）$，$\frac{{a}_{1}}{2}$+1=$\frac{3}{2}$，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1}為等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為$\frac{3}{2}$．∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1=$（\frac{3}{2}）^{n}$，化為：a_n=3ⁿ-2ⁿ．
（2）b_n（3ⁿ-a_n）=$\frac{n+2}{n（n+1）}$，∴b_n=$\frac{n+2}{n（n+1）•{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$$（\frac{2}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{1}{n•{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$（1-\frac{1}{2×2}）$+$（\frac{1}{2×2}-\frac{1}{3×{2}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{n•{2}^{n-1}}-\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}）$=1-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$＜1，
∴T_n＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．