Question

4．定義在R上的偶函數(shù)滿足f（$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$-x），且f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）的值為（　�。�

• A． 2
• B． 1
• C． 0
• D． -2

Answer 1

分析 由f（x）滿足f（$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$-x），即有f（x+3）=f（-x），由f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），即有f（x+3）=f（x），則f（x）是以3為周期的函數(shù)，求出一個周期內(nèi)的和，即可得到所求的值．

解答 解：由f（x）滿足f（$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$-x），
即有f（x+3）=f（-x），
由f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
則f（-x）=f（x），
即有f（x+3）=f（x），
則f（x）是以3為周期的函數(shù)，
由f（-1）=1，f（0）=-2，即f（2）=1，f（3）=-2，
由f（4）=f（-1）=1，即有f（1）=1．
則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）=672×（f（1）+f（2）+f（3））=0×671=0．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)值計算，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對稱性求出函數(shù)的周期性以及利用函數(shù)周期性是解決本題的關(guān)鍵．