Question

16．已知過點(diǎn)A（0，1）且斜率為k的直線?與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1交于M，N兩點(diǎn)．
（I）寫出直線?的方程和圓C的圓心坐標(biāo)和半徑，并k的取值范圍；
（II）若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)斜式方程得出l方程，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的意義得出圓心和半徑，根據(jù)直線與圓相交得出不等式解出k的范圍；
（2）聯(lián)立方程組得出M，N的坐標(biāo)的關(guān)系，代入數(shù)量積公式求出k，從而確定直線經(jīng)過圓心，得出|MN|=2r．

解答 解：（1）依題意設(shè)，直線l的方程為y=kx+1．
圓C：（x-2）²+（y-3）²=1的圓心坐標(biāo)為（2，3），半徑r=1．
∵l與C交于兩點(diǎn)，∴$\frac{{|{2k-3+1}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}＜1$．
∴3k²-8k+3＜0，解得$\frac{{4-\sqrt{7}}}{3}＜k＜\frac{{4+\sqrt{7}}}{3}$．
∴k的取值范圍為$（\frac{{4-\sqrt{7}}}{3}，\frac{{4+\sqrt{7}}}{3}）$．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{（x-2）^2}+{（y-3）^2}=1\end{array}\right.$，得（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0．
∴${x_1}+{x_2}=\frac{4（1+k）}{{1+{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{7}{{1+{k^2}}}$．$\overline{OM}•\overline{ON}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}$=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=$\frac{4k（1+k）}{{1+{k^2}}}+8$．
∵$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=12$，∴$\frac{4k（1+k）}{{1+{k^2}}}+8=12$，解得k=1，
∴l(xiāng)的方程是y=x+1．故圓心C在l上，
∴|MN|=2．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．