Question

8．在銳角三角形ABC，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足（b²-a²-c²）sinAcosA=accos（A+C）．
（1）求角A；
（2）若a=$\sqrt{2}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理，三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知可得-2accosBsinAcosA=-accosB，結(jié)合cosB≠0，可得sin2A=1，結(jié)合范圍2A∈（0，π），可求A的值．
（2）利用余弦定理，基本不等式可求bc≤$\frac{2}{2-\sqrt{2}}$=2+$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立，進(jìn)而利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵（b²-a²-c²）sinAcosA=accos（A+C），
∴由余弦定理可得：a²+c²-b²=2accosB，
代入已知可得：-2accosBsinAcosA=accos（π-B）=-accosB，
又∵cosB≠0，
∴可得：sin2A=1，
∵A∈（0，$\frac{π}{2}$），可得2A∈（0，π），
∴2A=$\frac{π}{2}$，可得A=$\frac{π}{4}$…6分
（2）∵a²=c²+b²-2accosA=2，即：b²+c²-$\sqrt{2}$bc=2，
∴$\sqrt{2}$bc=b²+c²-2，
∴bc≤$\frac{2}{2-\sqrt{2}}$=2+$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×（2+$\sqrt{2}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立．
∴△ABC面積的最大值為$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．