Question

6．已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2；則棱錐V_O-ABC：V_O-SAB=（　�。�

• A． 1：1
• B． 1：2
• C． 2：1
• D． 1：3

Answer 1

分析 根據(jù)題意作出圖形，設(shè)球心為O，過ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O₁，則OO₁⊥平面ABC，延長CO₁交球于點(diǎn)D，則SD⊥平面ABC．推導(dǎo)出高SD=2OO₁=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，求出V_S-ABC，V_O-ABC，由V_O-SAB=V_S-ABC-V_O-ABC，能求出棱錐V_O-ABC：V_O-SAB．

解答 解：根據(jù)題意作出圖形：
設(shè)球心為O，過ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O₁，則OO₁⊥平面ABC，
延長CO₁交球于點(diǎn)D，則SD⊥平面ABC．
∵CO₁=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OO₁=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴高SD=2OO₁=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∵△ABC是邊長為1的正三角形，
∴${S}_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴V_S-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{6}$．
V_O-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$，
∴V_O-SAB=V_S-ABC-V_O-ABC=$\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{\sqrt{2}}{12}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$，
∴棱錐V_O-ABC：V_O-SAB=1：1．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查兩個棱錐的體積的比值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．