6.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,△ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2;則棱錐VO-ABC:VO-SAB=( 。
A.1:1B.1:2C.2:1D.1:3

分析 根據(jù)題意作出圖形,設(shè)球心為O,過ABC三點的小圓的圓心為O1,則OO1⊥平面ABC,延長CO1交球于點D,則SD⊥平面ABC.推導(dǎo)出高SD=2OO1=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$,求出VS-ABC,VO-ABC,由VO-SAB=VS-ABC-VO-ABC,能求出棱錐VO-ABC:VO-SAB

解答 解:根據(jù)題意作出圖形:
設(shè)球心為O,過ABC三點的小圓的圓心為O1,則OO1⊥平面ABC,
延長CO1交球于點D,則SD⊥平面ABC.
∵CO1=$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴OO1=$\sqrt{{1}^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
∴高SD=2OO1=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$,
∵△ABC是邊長為1的正三角形,
∴${S}_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}$,
∴VS-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{6}$.
VO-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$,
∴VO-SAB=VS-ABC-VO-ABC=$\frac{\sqrt{2}}{6}-\frac{\sqrt{2}}{12}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$,
∴棱錐VO-ABC:VO-SAB=1:1.
故選:A.

點評 本題考查兩個棱錐的體積的比值的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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