Question

2．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為BC，DA的中點(diǎn)，將正方形ABCD沿著線段EF折起，使得∠DFA=60°，設(shè)G為AF的中點(diǎn)．
（1）求證：DG⊥EF；
（2）求直線GA與平面BCF所成角的正弦值；
（3）設(shè)P，Q分別為線段DG，CF上一點(diǎn)，且PQ∥平面ABEF，求線段PQ長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

分析 （1）由矩形性質(zhì)得出EF⊥DF，EF⊥AF，故EF⊥平面AFD，得出EF⊥DG；
（2）證明DG⊥平面ABEF，以G為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{GA}$和平面BCF的法向量$\overrightarrow{n}$的坐標(biāo)，則GA與平面BCF所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{GA}，\overrightarrow{n}$＞|；
（3）設(shè)P（0，0，k）（0≤k≤$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{FQ}$=λ$\overrightarrow{FC}$（0≤λ≤1），求出$\overrightarrow{PQ}$的坐標(biāo)，令$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{GD}$=0得出k與λ的關(guān)系，得出|$\overrightarrow{PQ}$|關(guān)于λ的函數(shù)，根據(jù)λ的范圍求出函數(shù)的最小值．

解答 （1）證明：∵E，F(xiàn)分別正方形ABCD的邊BC，DA的中點(diǎn)，
∴EF⊥DF，EF⊥AF，
又DF?平面ADF，AF?平面ADF，DF∩AF=F，
∴EF⊥平面ADF，
∵DG?平面ADF，
∴DG⊥EF．
（2）∵DF=AF，∠DFA=60°，
∴△ADF是等邊三角形，
∵G是AF的中點(diǎn)，∴DG⊥AF．
又EF⊥DG，EF，AF?平面ABEF，AF∩EF=F，
∴DG⊥平面ABEF．
設(shè)BE中點(diǎn)為H，連結(jié)GH，則GA，GD，GH兩兩垂直，
以G為原點(diǎn)，以GA，GH，GD為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則G（0，0，0），A（1，0，0），B（1，4，0）．C（0，4，$\sqrt{3}$），F(xiàn)（-1，0，0）．
∴$\overrightarrow{GA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BF}$=（-2，-4，0）．
設(shè)平面BCF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}z=0}\\{-2x-4y=0}\end{array}\right.$，令z=2得$\overrightarrow{n}$=（2$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，2）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GA}$=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{19}$，|$\overrightarrow{GA}$|=1．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{GA}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GA}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{GA}|}$=$\frac{2\sqrt{57}}{19}$．
∴直線GA與平面BCF所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{57}}{19}$．
（3）設(shè)P（0，0，k）（0≤k≤$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{FQ}$=λ$\overrightarrow{FC}$（0≤λ≤1），
則$\overrightarrow{FP}$=（1，0，k），$\overrightarrow{FC}$=（1，4，$\sqrt{3}$），∴$\overrightarrow{FQ}$=（λ，4λ，$\sqrt{3}$λ），
∴$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{FQ}-\overrightarrow{FP}$=（λ-1，4λ，$\sqrt{3}$λ-k）．
∵DG⊥平面ABEF，∴$\overrightarrow{GD}$=（0，0，$\sqrt{3}$）為平面ABEF的一個(gè)法向量．
∵PQ∥平面ABEF，∴$\overrightarrow{PQ}⊥\overrightarrow{GD}$，∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{GD}$=$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}λ-k$）=0，
∴k=$\sqrt{3}λ$．
∴|$\overrightarrow{PQ}$|=$\sqrt{（λ-1）^{2}+16{λ}^{2}+（\sqrt{3}λ-k）^{2}}$=$\sqrt{17{λ}^{2}-2λ+1}$=$\sqrt{17（λ-\frac{1}{17}）^{2}+\frac{16}{17}}$．
∴當(dāng)λ=$\frac{1}{17}$時(shí)，|$\overrightarrow{PQ}$|取得最小值$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，線面角的計(jì)算，空間向量在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．