Question

7．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=a，其前n項和為S_n，且滿足S_n+S_n-1=4n²（n≥2，n∈N₊），若對任意n∈N₊，a_n＜a_n+1恒成立，則a的取值范圍是（3，5）．

Answer 1

分析 S_n+S_n-1=4n²（n≥2，n∈N₊），可得S₂+S₁=16，a₁=a，a₂=16-2a，S_n+1+S_n=4（n+1）²，可得：a_n+1+a_n=8n+4，變形為：a_n+1-4（n+1）=-（a_n-4n），對a分類討論，利用等比數(shù)列的通項公式及其已知條件對任意n∈N₊，a_n＜a_n+1恒成立即可得出．

解答 解：∵S_n+S_n-1=4n²（n≥2，n∈N₊），∴S₂+S₁=16，a₁=a，可得2a₁+a₂=16，∴a₂=16-2a．
S_n+1+S_n=4（n+1）²，
可得：a_n+1+a_n=8n+4，
變形為：a_n+1-4（n+1）=-（a_n-4n），
①a≠4時，數(shù)列{a_n-4n}是等比數(shù)列，a₂-8=8-2a，公比為-1，n≥2．
∴a_n-4n=（8-2a）×（-1）^n-2，
∴a_n=4n+（8-2a）×（-1）^n-2，
∵對任意n∈N₊，a_n＜a_n+1恒成立，∴4n+（8-2a）×（-1）^n-2＜4（n+1）+（8-2a）×（-1）^n-1，化為：1+（4-a）×（-1）^n-1＞0，
n=2k（k∈N^*）時，可得：1-（4-a）＞0，解得a＞3．
n=2k+1（k∈N^*）時，可得：1+（4-a）＞0，解得a＜5．
∴3＜a＜5，a≠4．
由a₁＜a₂可得：a＜16-2a，解得$a＜\frac{16}{3}$，
綜上可得：3＜a＜5，a≠4．
②a=4時，a₁=4，a₂=8，由a_n+1-4（n+1）=-（a_n-4n），可得：a_n=4n，a_n+1=4（n+1）
對任意n∈N₊，a_n＜a_n+1恒成立．
綜上①②可得：3＜a＜5．
∴a的取值范圍是（3，5）．
故答案為：（3，5）．

點評 本題考查了遞推關系、不等式的解法、等比數(shù)列的通項公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．