Question

14．某中學為了了解學生的文化素養(yǎng)與課外閱讀時間的關系，對該校200名高二學生每天的平均課外閱讀時間進行調查，結果如下表：（時間單位：分鐘）

每天平均閱讀時間（分鐘）	[0，10）	[10，20）	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60）
總人數	20	36	44	50	30	20

將學生每天平均課外閱讀時間（分鐘）在[40，60）內的學生評價為“課外閱讀達標”
（Ⅰ）根據上述表格中的數據填寫下面的2×2列聯表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提想認為“課外閱讀達標”與性別有關？

	課外閱讀不達標	課外閱讀達標	合計
男
女		30	90
合計

（Ⅱ）將上述調查所得的頻率視為概率，現在從該校高二學生中抽取5名學生，記被抽取的5名學生中“課外閱讀達標”學生人數為X，若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的數學期望和方差
參考公式K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d
參考數據．

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據所給的數據列出列聯表，再代入公式計算得出K²，與臨界值比較即可得出結論；
（Ⅱ）由題意，用頻率代替概率可得出抽到“課外體育達標”學生的頻率為0.25，由于X～B（5，$\frac{1}{4}$），由公式計算出期望與方差即可．

解答 解：列出列聯表，

	課外體育不達標	課外體育達標	合計
男	90	20	110
女	60	30	90
合計	150	50	200

（Ⅰ）${K}^{2}=\frac{200×（90×30-20×60）^{2}}{150×50×90×110}$≈6.060＜6.635，
∴在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下不能判斷“課外體育達標”與性別有關；
（Ⅱ）由表中數據可得，抽到“課外體育達標”學生的頻率為0.25，將頻率視為概率，
∴X～B（5，$\frac{1}{4}$），
∴E（X）=5×$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，D（X）=5×$\frac{1}{4}$×（1-$\frac{1}{4}$）=$\frac{15}{16}$．

點評 本題考查獨立性檢驗的運用及期望與方差的求法，考查學生讀取圖表的能力，是中檔題．