Question

【題目】已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為，，橢圓上任意一點(diǎn)，滿足，且橢圓過點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)是軌跡上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線 （為參數(shù)）上，線段的中垂線與交于兩點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在點(diǎn)符合條件，坐標(biāo)為.

【解析】

（1）設(shè)，，，根據(jù)題意列出方程，聯(lián)立求解即可；

（2）直線參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為普通方程，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，三點(diǎn)共線不符合題意；當(dāng)直線不垂直與軸時(shí)，設(shè)存在點(diǎn)，直線的斜率為，，，，，根據(jù)題意利用圓的性質(zhì)和垂直向量點(diǎn)積為0，列出方程求解可得答案.

解：（1）設(shè)，，，則 ，

,

橢圓過點(diǎn)， ②

聯(lián)立①②解得：

所求橢圓方程為：

（2）將直線的參數(shù)方程： （為參數(shù)）化為普通方程，

當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線方程為：，

此時(shí) ，與點(diǎn)三點(diǎn)共線，不合題意；

當(dāng)直線不垂直與軸時(shí)，設(shè)存在點(diǎn)，直線的斜率為，，，，

由 得：，則 ，故

此時(shí)，直線斜率為，的直線方程為，即

聯(lián)立，整理得：

所以，

由題意，于是

，因?yàn)?/span>在橢圓內(nèi)，，符合題意；

綜上，存在點(diǎn)符合條件，坐標(biāo)為.