20.已知曲線y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切.求a的值.

分析 求出y=x+lnx的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率,可得切線方程,再由于切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,有且只有一切點(diǎn),進(jìn)而可聯(lián)立切線與曲線方程,根據(jù)△=0得到a的值.

解答 解:y=x+lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=1+$\frac{1}{x}$,
曲線y=x+lnx在x=1處的切線斜率為k=2,
則曲線y=x+lnx在x=1處的切線方程為y-1=2x-2,即y=2x-1.
由于切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,
y=ax2+(a+2)x+1可聯(lián)立y=2x-1,
得ax2+ax+2=0,
又a≠0,兩線相切有一切點(diǎn),
所以有△=a2-8a=0,
解得a=8.

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線方程,主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),設(shè)出切線方程運(yùn)用兩線相切的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

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