Question

19．已知定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若對任意的實數(shù)x，f′（x）＞$\frac{1}{2}$恒成立，且f（3）=$\frac{9}{2}$，則不等式f（x²-2x）＜$\frac{1}{2}$（x²-2x）+3的解集為（-1，3）．

Answer 1

分析 令函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，由題意可得g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＞0，即g（x）在R上遞增，且g（3）=3，原不等式化為g（x²-2x）＜g（3），運用單調(diào)性和二次不等式的解法即可得到解集．

解答 解：可設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，
由對任意的實數(shù)x，f′（x）＞$\frac{1}{2}$恒成立，可得
g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$＞0，
即g（x）在R上遞增，且g（3）=f（3）-$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$-$\frac{3}{2}$=3，
不等式f（x²-2x）＜$\frac{1}{2}$（x²-2x）+3，
即為f（x²-2x）-$\frac{1}{2}$（x²-2x）＜3，
即g（x²-2x）＜g（3），
由g（x）在R上遞增，可得x²-2x＜3，
解得-1＜x＜3．
則解集為（-1，3）．
故答案為：（-1，3）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：判斷單調(diào)性，考查單調(diào)性的運用：解不等式，以及構(gòu)造函數(shù)法，考查運算能力，屬于中檔題．