Question

1．如圖，正方形ABCD與直角梯形ADEF中，ED⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（Ⅰ）求證：AC⊥BE；
（Ⅱ）求證：AC∥平面BEF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲證AC⊥BE，只需AC⊥平面BDE，只需證明AC垂直平面BDE中的兩條相交直線即可，由AC與BD是正方形ABCD的對角線，可證AC⊥BD，再由DE垂直AC所在的平面，得到AC垂直DE，而BD，DE是平面BDE中的兩條相交直線，問題得證．
（Ⅱ）欲證AC∥平面BEF，只需證明AC平行平面BEF中的一條直線即可，利用中位線的性質(zhì)證明OG平行DE且等于DE的一半，根據(jù)已知AF平行DE且等于DE的一半，所以O(shè)G與AF平行且相等，就可得到AC平行FG，而FG為平面BEF中的一條直線，問題得證．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥AC．
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵BD∩DE=D，
∴AC⊥平面BDE，
∵BE?平面BDE，
∴AC⊥BE．
（Ⅱ）證明：設(shè)AC∩BD=O，取BE中點G，連接FG，OG，
∵OG為△BDE的中位線，
∴OG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DE，
∵AF∥DE，DE=2AF，
∴AF$\stackrel{∥}{=}$OG，
∴四邊形AFGO是平行四邊形，
∴FG∥AO．
∵FG?平面BEF，AO?平面BEF，
∴AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF

點評 本題主要考查了在空間幾何體中證明線面垂直，線面平行，綜合考查了學(xué)生的識圖能力，空間想象力，計算能力，屬于中檔題．