Question

15．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-7≤0}\\{x-3y+1≤0}\\{3x-y-5≥0}\end{array}$，則z=$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}$的最大值為（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{29}{10}$
• C． $\frac{25}{12}$
• D． 3

Answer 1

分析 利用換元法將條件轉(zhuǎn)化為直線斜率，結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：z=$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{xy}$=$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$，
設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則z=k+$\frac{1}{k}$，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則由圖象知OC的斜率最小，OA的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-7=0}\\{x-3y+1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（5，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-7=0}\\{3x-y-5=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$．即A（3，4），
則OC的斜率k=$\frac{2}{5}$，OA的斜率k=$\frac{4}{3}$，
則$\frac{2}{5}$≤k≤$\frac{4}{3}$，
∵z=k+$\frac{1}{k}$，在$\frac{2}{5}$≤k≤1上遞減，在1≤k≤$\frac{4}{3}$上遞增，
∴當(dāng)k=$\frac{2}{5}$時(shí)，z=$\frac{2}{5}$+$\frac{5}{2}$=$\frac{29}{10}$，
當(dāng)k=$\frac{4}{3}$時(shí)，z=$\frac{4}{3}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{25}{12}$＜$\frac{29}{10}$，
故z的最大值為$\frac{29}{10}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用換元法將條件轉(zhuǎn)化為直線斜率是解決本題的關(guān)鍵．