Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：（）的離心率且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為3.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）在橢圓上，是否存在點(diǎn)，使得直線：與圓：相交于不同的兩點(diǎn)、，且的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及對應(yīng)的的面積；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）存在，M的坐標(biāo)為、、、，最大值為。

【解析】

試題分析：（1）離心率，得到，即此時橢圓方程為，設(shè)橢圓上的點(diǎn)為P，

兩點(diǎn)間的距離等于3，可得到b=1，所以可求得橢圓方程；（2）在解析幾何中，三角形的面積公式通常有兩種計(jì)算方式，??，本題由于沒有給出角度的關(guān)系，所以采用第一種方法。通過聯(lián)立方程即可得到M的坐標(biāo)。

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020106023553437176/SYS201502010602431127662801_DA/SYS201502010602431127662801_DA.013.png">，所以，于是. 1分

設(shè)橢圓上任一點(diǎn)，橢圓方程為，，=

①當(dāng)，即時，（此時 舍去； 3分

②當(dāng)即時， 5分

綜上橢圓C的方程為。 6分

（Ⅱ）圓心到直線的距離為，弦長，所以的面積為 8分

點(diǎn), 10分

當(dāng)時， 由得

綜上所述，橢圓上存在四個點(diǎn)、、、，使得直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)、，且的面積最大，且最大值為. 12分

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系