Question

已知等差數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且b₁=

2

+1，S₃=3

2

+6
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）證明數(shù)列{b_n}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定,等差數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義建立方程關(guān)系，即可證明數(shù)列{b_n}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
則S₃=3

2

+6=3（

2

+1）+

3×2

2

d=3（

2

+1）+3d，
解得d=

3 2 +6-3 2 -3

3

=

3

3

=1，
即數(shù)列{b_n}的通項公式為

2

+1+（n-1）=n+

2

；
（2）若數(shù)列{b_n}中任意的三項b_n-1，b_n，b_n+1都成為等比數(shù)列．
則b_n²=b_n-1b_n+1，
即（n+

2

）²=（n-1+

2

）（n+1+

2

）=[n+（

2

-1）][n+（

2

+1）]，
展開得n²+2

2

n+2=n²+2

2

n+1，
即2=1，則方程不成立，
故數(shù)列{b_n}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列．

點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的應(yīng)用，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式是解決本題的關(guān)鍵．