Question

20．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若ccosB-bcosC=$\frac{1}{3}$a．
（Ⅰ）證明：tanC=2tanB；
（Ⅱ）若a=3，tanA=$\frac{9}{7}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和等于π，兩角和與差的公式進行化簡，即可得到答案．
（Ⅱ）根據(jù)A+B+C=π⇒A=π-（B+C），利用（Ⅰ）的結(jié)論，化簡，利用數(shù)形結(jié)合構(gòu)造三角形的高，即可解決．

解答 解：（Ⅰ）∵ccosB-bcosC=$\frac{1}{3}$a．
∴sinCcosB-sinBcosC=$\frac{1}{3}$sinA
又∵A+B+C=π⇒A=π-（B+C）
∴sinCcosB-sinBcosC=$\frac{1}{3}$sin（B+C）
?sinCcosB-sinBcosC=$\frac{1}{3}$（sinBcosC+cosBsinC）
?tanC=2tanB；得證．
（Ⅱ）∵A=π-（B+C），tanA=$\frac{9}{7}$，
?-tan（B+C）=$\frac{9}{7}$，
?$-\frac{tanB+tanC}{1-tanB•tanC}=\frac{9}{7}$
由（Ⅰ）可知tanC=2tanB；
解得：tanB=$\frac{3}{2}$
過點A作AH∥BC與H，又tanC=2tanB，⇒BH=2CH
∵a=3，
∴BH=2
于是AH=BHtanB=3
${S}_{ABC}=\frac{1}{2}BC•AH=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$
故△ABC的面積為$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了正弦定理的運用和兩角和與差的公式化簡的能力．利用數(shù)形結(jié)合構(gòu)造三角形的高來解三角形ABC的面積也是常用方法．屬于中檔題．